Calculadora de Limite, Derivada e Integral
Explore os três pilares do Cálculo Diferencial e Integral com visualizações e detalhamento passo a passo dos cálculos. Use funções JavaScript: x**2, Math.sin(x), Math.log(x), Math.exp(x).
📐 Conceito de Limite
O limite de f(x) quando x → a é o valor que f(x) se aproxima conforme x se aproxima de a, sem necessariamente chegar em a.
Formas Indeterminadas
0/0 · ∞/∞ · ∞−∞ · 0·∞ · 1∞ · 0⁰ · ∞⁰
→ Usar L'Hôpital, fatoração ou substituição
Regra de L'Hôpital
lim f/g = lim f'/g'
Válido quando a forma é 0/0 ou ∞/∞
💡 Notação aceita: x^2, sin(x)/x, (x^2-1)/(x-1)
Exemplos com solução passo a passo:
Para ∞, use 1e1000 (ou clique ±∞). Para −∞, use -1e1000.
🌍 Onde os limites aparecem no mundo real?
📱 Zoom de câmera / Instagram
O foco de uma lente converge para um ponto ideal conforme a distância tende a um valor crítico — limite físico da óptica.
🎬 Netflix / Streaming
A qualidade do vídeo tem um limite conforme a taxa de bits tende ao máximo do codec — lim(bitrate→∞) qualidade = máximo perceptível.
🚗 Velocidade instantânea
Velocidade = lim(Δt→0) Δs/Δt. O velocímetro do seu carro calcula exatamente esse limite a cada instante.
📋 Propriedades de Limites
Válidas quando lim(x→a) f(x) e lim(x→a) g(x) existem e são finitos.
| Propriedade | Fórmula |
|---|---|
| Soma / Diferença | lim(x→a) [f ± g] = lim f ± lim g |
| Produto | lim(x→a) [f · g] = lim f · lim g |
| Quociente (lim g ≠ 0) | lim(x→a) [f / g] = lim f / lim g |
| Múltiplo por constante | lim(x→a) [c · f] = c · lim f |
| Potência | lim(x→a) [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ |
| Raiz | lim(x→a) ⁿ√f(x) = ⁿ√(lim f(x)) |
| Limite de constante | lim(x→a) c = c |
| Limite de identidade | lim(x→a) x = a |
⭐ Limites Notáveis (Fundamentais)
| Tipo | Limite |
|---|---|
| Fundamental trigonométrico | lim(x→0) sin(x)/x = 1 |
| Trigonométrico | lim(x→0) (1 - cos x)/x = 0 |
| Definição do número e | lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e |
| Definição do número e | lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e ≈ 2.71828 |
| Exponencial | lim(x→0) (eˣ - 1)/x = 1 |
| Logarítmico | lim(x→0) ln(1+x)/x = 1 |
| No infinito | lim(x→∞) (1/x) = 0 |
| Exponencial domina potência | lim(x→∞) xⁿ/eˣ = 0 (n > 0) |
| Potência domina logaritmo | lim(x→∞) ln(x)/xⁿ = 0 (n > 0) |
⚠️ Formas Indeterminadas e Como Resolver
| Forma | Estratégia |
|---|---|
| 0/0 | Fatoração, L'Hôpital, Séries de Taylor |
| ∞/∞ | L'Hôpital, Dividir pelo maior grau |
| ∞ − ∞ | Racionalização, fatoração |
| 0 · ∞ | Reescrever como 0/(1/∞) → 0/0 ou ∞/(1/0) → ∞/∞ |
| 1^∞ | Usar e^[lim g·ln f], L'Hôpital no expoente |
| 0⁰ | Usar e^[lim g·ln f] |
| ∞⁰ | Usar e^[lim g·ln f] |
Regra de L'Hôpital: Se lim f/g = 0/0 ou ∞/∞, então lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x), desde que o segundo limite exista.
